"La multiplicación"

     ¿Queréis aprender a multiplicar haciendo magia con las matemáticas?

     Área: Matemáticas, 2º ciclo.                                               

     Curso: 3º Primaria.

     Objetivos: 

• La multiplicación y sus términos.
• Las tablas de multiplicar.
• Propiedades de la multiplicación.
• La multiplicación sin llevar.
• La multiplicación con llevadas.
• La multiplicación por dos cifras.

• La multiplicación y sus términos

    Multiplicación es un término con origen en el latín multiplicatio que permite nombrar el hecho y las consecuencias de multiplicarse o de multiplicar (incrementar el número de cosas que pertenecen a un mismo grupo). 

  Para las matemáticas, la multiplicación consiste en una operación de composición que requiere sumar reiteradamente un número de acuerdo a la cantidad de veces indicada por otro. 

     Los números que intervienen en la multiplicación reciben el nombre de factores, mientras que el resultado se denomina producto. El objetivo de la operación, por lo tanto, es hallar el producto de dos factores. 

    Cada factor, por otra parte, tiene su propia denominación: la cifra a sumar repetidamente es el multiplicando, mientras que el número que indica la cantidad de veces que hay que sumar el multiplicando es el multiplicador. 

     La multiplicación, en definitiva, consiste en tomar el multiplicando y sumarlo tantas veces como unidades contiene el multiplicador. 

   Por ejemplo: 5 x 2 = 10 (“cinco multiplicado por dos es igual a diez”) es la operación que señala que hay que sumar 2 veces el número 5 (5 + 5 = 10 es igual a 5 x 2 = 10). La misma lógica se utiliza con números más grandes (8 x 5 = 40 es igual a 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40).

      Una multiplicación se puede escribir en forma horizontal:

6532 x 7 = 45724. Donde los factores son  6532 y 7 y el producto de la multiplicación es 45724.

      Una multiplicación también se puede escribir en forma vertical:

                                 6532

                                  x 7

                                -------

                                45724

      Los factores son 6532 y 7 y el producto de la multiplicación es 45724.

• Las tablas de multiplicar

  En Educación Primaria se suele aprender la multiplicación luego de haber visto la suma y la resta, en ese orden, y la forma en la que se les presenta esta operación a los alumnos es a través de las conocidas "tablas de multiplicar". Básicamente, consisten en todas las multiplicaciones posibles entre los números del 1 al 9, aunque dependiendo del centro educativo pueden abarcar más cuentas. 

     Cada tabla corresponde a un número, por lo que se habla de «la tabla del 3», por ejemplo, para referirse a «3 x 1, 3 x 2» y así hasta «3 x 9». De esta manera, se fijan en la memoria esta serie tan aleatoria como absurdamente sencilla de multiplicaciones, evitando a los niños razonar el procedimiento. En pocas palabras, el universo de las matemáticas es mucho más complejo que «9 x 9».

     A continuación, podréis hacer unas actividades muy chulas para practicar las tablas de multiplicar:

                                                               

• Propiedades de la multiplicación

   En este apartado vamos a hacer un repaso de las propiedades de la multiplicación y ver algunas de sus aplicaciones. Empezamos haciendo un breve resumen de las propiedades de la multiplicación:

     

     Con respecto a la propiedad distributiva, si tomamos como ejemplo 2 x (4 + 3 – 5), se deberá extraer cada elemento encerrado entre paréntesis y multiplicarlo por 2, conservando su signo, de la siguiente manera: 2 x 4 + 2 x 3 – 2 x 5. Esto último también se puede expresar como una serie de sumas: 2 x 4 + 2 x 3 + 2 x (-5). 

     Una particularidad de la multiplicación cuando se implican números negativos es que al operar con dos de ellos se obtiene uno positivo; incluso en contextos que poco tienen que ver con las matemáticas, es muy común oír la frase "menos por menos, más". 

      Por otro lado, al multiplicar un número positivo por uno negativo, el resultado es siempre negativo. Así como en la suma, se suelen emplear imágenes para facilitar el aprendizaje de estas particularidades. 

    El más usado es pensar en un eje sobre el cual se ubican todos los números enteros, centrando la vista en el cero; a su izquierda están los números negativos y a su derecha, los positivos, y cada operación que se realice se gráfica «desplazándose» en uno u otro sentido, de acuerdo al signo de las cifras en cuestión.

    Muchas veces los niños usan las propiedades de la multiplicación sin llegar a entenderlas correctamente y sin saber muy bien por qué funcionan. A través de estos ejemplos vamos a intentar que lo entendáis mejor. 

     Pedimos a Carlos que sume 60 + 30 y contesta que “60 más 30 son 90 porque 6 más 3 son 9 y añadiendo un cero al final tengo 90” Muchos estudiantes aprenden a hacer este “truco” y es correcto, ¿pero sabéis por qué funciona? Simbólicamente, podemos expresarlo de la siguiente manera:

     Una de las propiedades de la multiplicación, la propiedad distributiva, está implícita en el cálculo, ¿os habíais dado cuenta?

    Ahora veamos otro ejemplo preguntando a los hermanos gemelos de Carlos, Arón y Hugo, cuánto es 8 x 6. Arón no se acordaba de que 8 x 6 era 48, pero sí sabía que era igual que 8 x 5 más 8.  Así que hizo “8 por 5 igual a 40, a 40 le sumo 8  y me da 48. Así que 8 por 6 es igual a 48”. Arón está en lo correcto, 8 por 6 es 48, ¿verdad?

     Podemos expresarlo de la siguiente manera:

   Y aquí vemos de nuevo la propiedad distributiva de la multiplicación implícitamente. Sin embargo Hugo, ha llegado a la misma solución pero de diferente manera. “Yo no me acuerdo de cuánto da 8 x 6 porque la tabla del 8 no me la sé muy bien aún, pero la del 6 sí que me la sé y 6 x 8 da 48, por lo tanto 8 x 6 es 48.”

    ¿Os habéis dado cuenta de qué propiedad de la multiplicación ha usado? Efectivamente, Hugo ha usado la propiedad conmutativa. ¡Excelente!

     Conocer y entender bien las propiedades de los números y de las operaciones ayuda a que el aprendizaje de la aritmética sea más eficiente y ofrece formas diferentes y más flexibles de aplicar lo aprendido en otros campos como en el álgebra, la geometría o la resolución de problemas.

     Si queréis aprender más, podéis ver los vídeo tutoriales de Smartick y practicar ejercicios de la propiedades de la multiplicación:

• Propiedad asociativa
• Sacar factor común
• Propiedad distributiva
• Elemento neutro

   También podéis repasar todos estos post en los que hemos tratado las propiedades distributiva, asociativa y conmutativa:

• Propiedad distributiva desde el punto de vista geométrico.
• Propiedad asociativa en las multiplicaciones.
• Conmutativa aplicada en un problema.

• La multiplicación sin llevar

     En este caso, vamos a ver un vídeo donde se explica muy bien la multiplicación sin llevar, y tras verlo, podréis practicar unos ejercicios y así comprobar si habéis entendido el proceso de la multiplicación sin llevar de forma correcta.

• La multiplicación con llevadas

     Vídeo en el que se explica la forma de multiplicar llevando. 

• La multiplicación por dos cifras

   Antes de comenzar vamos a repasar cuales son los términos de la multiplicación.

     Términos de la multiplicación

• Factores: Los factores son los números que se multiplican.
• Producto: El producto es el resultado de la multiplicación.
• Multiplicando: El multiplicando es el factor que se encuentra arriba en la multiplicación.
• Multiplicador: El multiplicador es el factor que se encuentra debajo del multiplicando.

     Normalmente el multiplicando es mayor que el multiplicador.

     Ahora vamos a ver cuales son los pasos para hacer una multiplicación de 2 y 3 cifras.

     Pasos para hacer una multiplicación de 2 cifras

    1. Multiplicar las unidades del multiplicador por el multiplicando y el resultado escribirlo en la fila de abajo.

     Vamos a ver un ejemplo: Si multiplicamos 781 x 95, lo primero que hay que hacer es multiplicar por 5, que son las unidades de 95, por cada una de las cifras del multiplicando de derecha a izquierda y poner el resultado, 3905, en la fila de abajo, como muestra la imagen.

     2. Multiplicar las decenas del multiplicador por el multiplicando y el resultado escribirlo en la fila de abajo pero desplazado una posición a la izquierda.

    Seguimos con el ejemplo: Ahora multiplicamos el 9, ya que son las decenas del multiplicador 95, por el multiplicando 781. El resultado 7029 habrá que escribirlo debajo de 3905 pero desplazándolo una posición hacia la izquierda.

     3. Sumar los productos.

   Como vemos en la imagen sumamos los productos y el resultado de la multiplicación es 74.195

     Ejercicios para practicar multiplicaciones de 2 cifras

   Si queréis podéis ver el tutorial de multiplicaciones de dos cifras, donde encontraréis más ejemplos.

  Además, en los siguientes enlaces encontraréis ejercicios online para practicar las multiplicaciones de dos cifras de una forma más divertida.

• Multiplicaciones por dos cifras ¡Hasta 99 x 99!
• Multiplicaciones por dos cifras ¡Hasta 999 x 99!

      

• Referencias bibliográficas:

Julián Pérez Porto y Ana Gradey. Publicado: 2010. Actualizado: 2012. Definicion.de: Definición de multiplicación. Recuperado de  https://definicion.de/multiplicacion/

La Multiplicación. La Tabla Pitagórica. Recuperado de http://micoleluiscernudacampanillas.blogspot.com/p/t3-3-las-tablas-de.html

La Eduteca – La multiplicación. Introducción, 19 de noviembre de 2014.Vídeo del área de MATEMÁTICAS sobre la iniciación a la multiplicación. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=RZj2JNlJSy0

ToyCantando. CANCIONES tablas de multiplicar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (18 noviembre de 2014) Las Tablas de multiplicar del 1 al 10 en un solo vídeo, fáciles y divertidas de aprender. Canta y juega con las tablas. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=c_ScM26__FQ

Dibus Divukids, 2 de marzo de 2017. Las tablas de multiplicar completas (todas del 2 al 9). Vídeo animado. Disfruta y aprende con las tablas de multiplicar animadas de la profesora Mary Merche y su panda de estudiantes. Los mejores videos infantiles animados y canciones infantiles de toda la vida los encontrarás en nuestro canal Divukids. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=UE3jqHnv7Gs

3 Primaria/Segundo ciclo. ANAYA. Actividad 1. Tablas de multiplicar I. Recuperado de
http://www.ceiploreto.es/sugerencias/A_1/Recursosdidacticos/TERCERO/datos/03_mates/U04/01.htm

3 Primaria/Segundo ciclo. ANAYA. Actividad 2. Tablas de multiplicar II. Recuperado de http://www.ceiploreto.es/sugerencias/A_1/Recursosdidacticos/TERCERO/datos/03_mates/U04/02.htm

Mina Park, 25 de febrero de 2020. Smartick matemáticas a un click. Propiedades de la multiplicación. Categoría: Álgebra, Multiplicaciones, Recursos Didácticos. Recuperado de 
https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/propiedades-de-la-multiplicacion/

Podemos aprobar matemáticas. MULTIPLICACIONES SIN LLEVAR, 9 de noviembre de 2017. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=02EW-IgRUDc

3 Primaria/Segundo ciclo. ANAYA. Actividad 1. Multiplicaciones sin llevar. Recuperado de http://www.ceiploreto.es/sugerencias/A_1/Recursosdidacticos/TERCERO/datos/03_mates/U05/01.htm

Matecitos, 15 de marzo de 2015. www.matecitos.com: 3º Primaria: Multiplicaciones con llevadas. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=tyVjbKuQlGg

Daniel González de Vega, 22 de octubre de 2019. Smartick matemáticas a un click. Multiplicar por dos y tres cifras. Categoría: Multiplicaciones, Recursos Didácticos. Recuperado de https://www.smartick.es/blog/matematicas/multiplicaciones/multiplicar-por-dos-y-tres-cifras/

     "La suma y la resta"

     ¿Os animáis a utilizar operaciones matemáticas para organizar una competencia de tiro al cono?

     Área: Matemáticas, 2º ciclo.                                               
     Curso: 3º Primaria.

     Objetivos: 

• La suma con llevadas.
• Las propiedades de la suma.
• La resta con llevadas.
• La prueba de la resta.
• Cálculo estimado.
• La calculadora.
• El paréntesis.

• La suma con llevadas

     Las sumas con llevadas son las sumas en las que el resultado de la operación es 10 o un número mayor. Por ejemplo, 6 + 7 = 13 es una suma con llevada.

     Los pasos para resolver las sumas con llevadas son los siguientes:

• Si  al sumar un columna el resultado no tiene llevada (es decir, es menor de 10) escribe el resultado debajo de la columna.
• Si al sumar una columna el resultado sí tiene llevada (es decir, es igual o mayor que 10) escribe las unidades del resultado y apunta las decenas en la siguiente columna para sumarlas después.

     Os voy a mostrar un ejemplo de suma con llevadas. ¡¡Intentadlo conmigo!!:

      2 5 7
+   3 8 6
  ————–

     Empezad sumando la columna de las unidades:

7 + 6 = 13

     Este número es mayor que 10, por lo tanto se pone el 3 debajo de la columna de las unidades y el 1 ( es la llevada) se pone encima de la siguiente columna.

      1
      2 5 7
+    3 8 6
   ————–
           3

     Ahora sumáis la siguiente columna, sin olvidaros de la llevada:

1 + 5 + 8 = 14

     Este número también tiene llevada. Escribís el 4 debajo de la columna de las decenas y el 1 escribidlo encima de la siguiente columna.

   1 1
      2 5 7
+   3 8 6
   ————–
        4 3

     Ahora solo queda sumar la última columna:

1 + 2 + 3 = 6

     Solo os queda escribir ese número debajo de su columna:

   1 1
      2 5 7
+   3 8 6
   ————–
     6 4 3

     Y el resultado de la suma es 643. ¿Lo habíais hecho bien?

     ¿Os ha quedado alguna duda? Practicad más ejercicios de sumas con llevadas.

     ¿Queréis comprobar que sabéis hacerlo? Practicad con los ejercicios de sumas con llevadas de hasta 3 dígitos.
     Una vez dominéis las sumas con llevadas de hasta 3 dígitos, ya podréis realizar operaciones de 4, 5, 6 dígitos. Para averiguarlo podéis hacer actividades interactivas muy entretenidas sobre la suma.

     Espero que os haya gustado y hayáis aprendido a realizar sumas con llevadas.

• Las propiedades de la suma

   La suma tiene principalmente cuatro propiedades: propiedad conmutativa, propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva. Estas propiedades se cumplen siempre que se realiza una suma a excepción de casos muy raros (límite de sumas parciales cuando tienden al infinito).

     En este vídeo se explica qué quiere decir cada una de estas propiedades. A continuación, os lo resumo: 

1. Propiedad conmutativa: al sumar dos números el resultado es el mismo aunque cambiemos el orden de los sumandos. Ejemplo: 2 + 5 = 5 + 2 
2. Propiedad asociativa: al sumar tres o más números los podemos agrupar como queramos para sumarlos, es decir, en cualquier orden ya que el resultado siempre será el mismo. Ejemplo: 3 + (2 + 5) = (3 + 2) + 5 
3. Elemento neutro: la suma de cualquier número más cero nos dará el número original. Ejemplo: 6 + 0 = 6
4. Propiedad distributiva: la suma de dos números multiplicada por un tercer número será igual a ese tercer número multiplicado por uno de los sumandos más el mismo número multiplicado por el otro sumando. Ejemplo: 2 . (3 + 4) = (2 . 3) + (2 . 4)

     Sumar no es fácil, pero gracias a unprofesor.com será mucho más entretenido. Los alumnos y alumnas podrán practicar todo aquello que aprenden en el colegio a través de su página web y si tienen dudas podrán preguntar directamente al profesor. También podrán buscar en la web aquello que no hayan entendido en clase para recibir una explicación diferente, la cuál podrán ver y escuchar tantas veces como necesiten. 

    Recordad que cada niño tiene un ritmo diferente de aprendizaje, así que dejemos que construyan su camino. A continuación, tenéis colgados unos ejercicios imprimibles y con soluciones para poder practicar cada una de estas propiedades de la suma. 

   

• La resta con llevadas

   Comenzaremos aprendiendo a restar con llevada, y para ello vamos a recordar cómo se colocaban los elementos de una resta.

     Cómo se colocan los elementos de una resta:

• Colocad el sustraendo debajo del minuendo de manera que coincidan las unidades en la misma columna.
• Restad cada columna por separado empezando por las unidades.
• Escribid el resultado de la resta debajo de cada columna

     Vamos a ver ahora cómo haríais una resta con llevada: 

• Cuando la cifra del minuendo es menor que la cifra del sustraendo tiene que pedir ayuda a la cifra del minuendo de la siguiente columna. Por ejemplo: Vamos a restar 32 – 17
• Colocad el 17 debajo del 32 de manera que coincidan las unidades en la misma columna, es decir, el 7 y el 2.
• Empezad restando la columna de las unidades:  2 – 7, pero como 2 es menor que 7  tiene que pedir ayuda a la siguiente columna. Esta columna se quita una decena (3 – 1) para dar 10 unidades (2 + 10).

• Ahora ya puedes restar  12 – 7 = 5
• Restad la columna de las decenas:  2 – 1 = 1

• Por lo tanto, el resultado de nuestra resta con llevada es  32 – 17 = 15

   Espero que mi explicación os ayude a aprender a restar con llevada. Podéis ver la explicación completa junto con más ejemplos en este vídeo tutorial de restas con llevadas. 

     En los siguientes enlaces encontraréis ejercicios online para practicar las restas en vertical:

• Ejercicios online de restas sin llevada.
• Ejercicios online de restas con llevadas hasta 10.000.

• La prueba de la resta

La prueba de la resta es un mecanismo o truco que podemos usar para averiguar si una resta está realizada correctamente. Se trata de sumar el sustraendo con la diferencia hallada y comprobar si el resultado de esa suma coincide con el minuendo.

     Otros ejemplos para que entendáis la prueba de la resta:
     Prueba de la resta I 
     Prueba de la resta II 

• Cálculo estimado

     Estimación es formar un juicio aproximado con respecto a un valor, un cálculo, una cantidad, un peso, una medida. 

     ¿Es importante enseñarle a los niños y jóvenes para hacer las estimaciones? Sin lugar a dudas. Por un lado, hay situaciones donde no es posible hacer cálculos precisos y es necesario estimar. 

   Si en la enseñanza de las matemáticas se ignora la estimación, enseñando solamente procedimientos que conducen a respuestas precisas y únicas, se ignora una parte de las matemáticas y se impide que niños y jóvenes ganen experiencia y confianza a ese nivel, por eso, los padres pueden ayudar a los hijos en ese dominio. 

     Con efecto, muchas son las situaciones cotidianas en que usamos la estimación y el cálculo como forma de resolución de problemas, y en que ellos pueden ser llamados para colaborar. Se siguen una serie de sugerencias de actividades donde los padres pueden interactuar con los hijos, ayudándolos a desarrollar estrategias para estimar. Estos son problemas de situaciones lúdicas, que pueden ser seleccionadas de acuerdo con la edad y los conocimientos de los chicos. 

     

    Por ejemplo: 

• Cuando la familia se va, estimar la distancia para ir a un determinado lugar, por ejemplo entre el hogar y la escuela. Confrontar el valor estimado con el marcado en el contador de kilómetros.
• Estimar la cantidad de granos de arroz que una persona come.
• Estimar la longitud, en metros, del espagueti que una persona come. 
• Estimar cuántas palabras están escritas en un libro o un párrafo. 
• Estimar cuanto tiempo es un minuto mientras uno de los miembros usa su reloj. Cuando alguien considera que el minuto ya pasó va levantando su brazo. Al final, se dice el tiempo obtenido por cada uno. 

     Como se afirmó anteriormente, la estimación significa formarse una opinión basada en un juicio de valor aproximado, para ello, es necesario contar con valores de referencia, como se ve en los ejercicios propuestos. Si un niño nunca realiza compras ni lidia con los precios, le será muy difícil hacer estimaciones de esa naturaleza, por falta de valores de referencia. Por otro lado, estimar no implica una respuesta única, ésta puede situarse en un rango o intervalo que, sin embargo, debe ser posible. 

   Por consiguiente, las actividades propuestas ayudan a los niños y jóvenes a habituarse a crear valores de referencia y comprobar sus resultados estimados. El carácter lúdico y la afectividad involucrados en dichas actividades mejorarán su motivación para el aprendizaje, la adquisición de competencias para evaluar y desarrollar conceptos positivos acerca de las matemáticas.

• La calculadora

    

     Mediante esta calculadora para niños podréis aprender a usar una calculadora con un ordenador. Haced click en las teclas de números y en los símbolos de operaciones básicas, que os permitirán sumar, restar, multiplicar y dividir. Usad el igual para calcular el resultado. Poned el modo bebé para darle a las teclas y en la calculadora aparecerán números y dibujos. Aprended a usar la calculadora con este juego interactivo que es una calculadora infantil de colores, con las teclas básicas que más se usan.

      Pero, si queréis seguir practicando el uso de la calculadora, con este otro juego interactivo os resultará cada vez más fácil el uso de las operaciones básicas que acabamos de comentar. ¡A por todas!

• El paréntesis

     Los paréntesis son usados en todas las ramas de las matemáticas, aprender a usarlos correctamente es indispensable para comprenderla.

   Cuando realizamos operaciones entre números, los paréntesis determinan el orden y la prioridad de unas sobre otras.  Por ejemplo, en la expresión , primero se deben realizar las operaciones  y luego debemos efectuar . Por lo tanto, encontramos que el resultado de toda la expresión es cuatro: .

     No obtendremos el mismo resultado si hacemos las operaciones en otro orden, realicemos por ejemplo .  Fijaos que los números y los signos de suma y resta están en el mismo orden que en el párrafo de arriba, lo único que está cambiando es la disposición de los paréntesis.

     Notaréis que hay unos paréntesis contenidos en otros, en este caso el paréntesis  está dentro de uno más grande: , debemos realizar primero los paréntesis más pequeños, es decir: 

     Los paréntesis agrupan ciertos números para indicar cuáles son las operaciones que debéis realizar primero, por esta razón son llamados signos de agrupación.

     Anteriormente se usaban otros signos de agrupación tales como los corchetes   o los paréntesis cuadrados , pero hoy en día solo se utilizan para agrupar operaciones los redondos .  Por esta razón, veréis que en libros de matemáticas antiguos aparecen expresiones como:  que es igual a tener esto: .

Tened en cuenta que en su función de agrupar, los paréntesis necesitan aparecer en parejas: uno abriendo y otro cerrando.  No tienen sentido expresiones como  o .

      Para verificar que tengan sentido, podéis contar cuántos paréntesis abren y cuántos cierran, debe haber siempre el mismo número.

     ¿Y qué hacemos cuándo no hay paréntesis?

    Es posible que encontréis expresiones del tipo  o , en las que aparecen sumas y restas consecutivamente.  Existen varias formas de resolver este tipo de operaciones, os enseñaremos dos formas para que escojáis cuál va más con vuestro estilo:

    Primera forma

  Empezamos de izquierda a derecha resolviendo las operaciones que vayamos encontrando, en el caso de  procedemos así:

• Paso 1:

        Realizamos , la expresión queda convertida en .

• Paso 2:

 Seguimos con , llegando a .
• Paso 3: 

 Continuamos con , obteniendo .
• Paso 4:

       Finalmente resolvemos .  Por lo tanto, en la siguiente imagen podéis observar el procedimiento completo:

     Segunda forma

  También podemos agrupar los términos que suman aparte de los que restan.  Recordad que los números negativos representan deudas y los positivos tenencias.  Así, en la expresión , los números ,  y  agregan, mientras que los números  y  sustraen.  

     Por lo tanto, podemos proceder así:

• Paso 1: 

Agrupamos positivos con positivos y negativos con negativos:  y , obteniendo .
• Paso 2:

        Sumamos los números agrupados en cada paréntesis:  y .  Así se llega la expresión .

• Paso 3:

      Luego calculamos la diferencia entre los resultados, le restamos las deudas a las tenencias: .  Observad el procedimiento completo:

     Como podéis daros cuenta, los resultados de las operaciones fueron los mismos. Ahora que comprendéis estos conceptos sólo os falta practicar. ¡Ánimo! Sumas, restas y paréntesis.

• Referencias bibliográficas

© GRUPO ANAYA, S.A., 2019 - C/ Juan Ignacio Luca de Tena, 15 - 28027 Madrid. ANAYA. Primaria. Matemáticas 3. Pieza a pieza. Recuperado de  https://piezaapieza.anayaeducacion.es/descargas/propuestas/8385086_DPD.pdf 

Sara Sánchez Ruesgas, 7 de febrero de 2020. Smartick matemáticas a un click. Categoría: Recursos Didácticos, Sumas y Restas. Recuperado de 

https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/como-hacer-sumas-con-llevadas/#comments  

Academia JAF, 2 de diciembre de 2018. SUMAS CON LLEVADAS - Matemáticas - Primaria. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=Xvxi4Kian0Y

AAA Math. Derechos de autor - Copyright.  © 2006 J. Banfill.  Todos los derechos reservados. Recuperado de https://www.aaamatematicas.com/add74ax1.htm

Un profesor, 6 de marzo de 2014. Propiedades de la suma. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=qmeWF4zQdoI

Sara Sánchez Ruesgas, 17 de marzo de 2020. Smartick matemáticas a un click. Categoría: Recursos Didácticos, Sumas y Restas. Recuperado de https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/aprender-restar-con-llevada/

Matecitos, 23 de marzo de 2015. www.matecitos.com: 3º Primaria: La prueba de la resta. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=OAr0Q1R1bCA&t=376s

Escuelapedia, información didáctica. Matemáticas y cálculo estimativo.© 2020. Copyright. Escuelapedia es un proyecto educativo gratuito actualizado por sus colaboradores. Recuperado de http://www.escuelapedia.com/matematicas-y-calculo-estimativo/

Cokitos, juegos educativos. Juegos de sumas y restas para niños de 8 años. Aprender la calculadora. Recuperado de https://www.cokitos.com/juego-aprender-la-calculadora/play/

GCF Global. Creating Opportunities for a Better Life. GCF Aprende Libre. Sumar y restar- Uso de los paréntesis. Recuperado de https://edu.gcfglobal.org/es/sumar-y-restar/uso-de-los-parentesis/1/